Grundy number

幫每個狀態定義一個函數\(G\)

輸的時候等於0

其餘狀態為\(G(x) = mex \{ G(y)   | G  可以到y\}\)

\(mex\)代表最小沒有出現在集合中的非負整數

對於上次任意取的Nim來說，\(G(x)\)只有0 and 1

SG定理

假設有k個盤面，每次可以對其中一個做操作，會有

\(G(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\) = \(G(x_1) \oplus G(x_2)... \oplus G(x_n)\)

NIM GAME II

有\(n\)堆石頭，分別有\(a_1, a_2, ..., a_n\)個，Alice, Bob 輪流玩一個 game，輪到自己時可以選其中一堆，拿 1...3 個石頭，不能拿就輸。問誰贏

Stair Game

有\(n\)個石堆編號 ，每堆一開始有\(a_1, a_2, ..., a_n\)個。A, B 輪流，每次可以將任意數量的石頭從\(a_k\)移到\(a_{k-1}\) ，其中\(k \neq 1\) ，不能動就輸。問誰贏

Grundy's Game

有一堆\(n\)個石頭，A, B 輪流，每次可以將一堆 Split 成兩堆數量不同的，不能動就輸，問誰贏。共\(t\)筆測資

Fib

有一堆石子，先手一次可以取任意個但不能一次取完，下一個人最多只能取上一個人取的數量的兩倍，取到最後一個者獲勝，誰會贏？